"○○に対して執着心が無い"と言いたいのなら最初の例文の「I have no attachments to~」で表現できますね。こちらの例では「attachments」で"執着、愛着"と言い表しています。
次の例は私は"あまり固執する人ではありません"と性格的な面を表現する例となりますね。こちらの例では「persistent」で"執着心、固執"と表現しています。
例
・I'm not a very persistent person but for some reason I am very attached to him（私はあまり固執するような人ではないけどなぜか彼には執着しています）
こんにちは！
ご質問ありがとうございます。
ご質問について、いくつか言い方が考えられますが、例えば、
I don’t get attached to anything.
とすると、「何にも[執着](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/72115/)しない/執着心がない」となります。
役に立ちそうな単語とフレーズ
no attachments 執着がない
attached to 愛着がある
persistent 固執する
give up easily あっさり諦める
参考になれば幸いです。
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