こんにちは。質問ありがとうございます。
よくある言い方を二つ紹介します。
一つ目は単に自分の名前を述べて、「予約をしました」と言います。
My name is Kubota. I have a reservation → 予約をしたクボタです。
二つ目は、予約をしたときに伝えた自分の名前と人数を言います。
Kubota, party of 2 → 二名で予約したクボタです。
レストランやバーなどで人数を言うときは、party of ~というフレーズを使います。誕生日などの「パーティー」とは関係ありません。
またの質問をお待ちしています。
こんにちは！
ご質問ありがとうございます。
先のアンカーさんが回答されておりますので、ここでは他の例を挙げてみます。
Hi, I have a reservation under ABC.
とすると、「[予約](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/31152/)しましたABCです」となります。
役に立ちそうな単語とフレーズ
under someone's name ～の名前で
参考になれば幸いです。
アメリカ合衆国 
日本 
