「自分の娘が幸せそうで、私は嬉しい／嬉しかった」は
I'm glad/happy that SV.
の形を使えばオーケーです。「嬉しかった」とする場合は
I [was] glad that my daughter [looked] happy.
とlookも過去形にします。時制の一致という英語の文法が当てはまるからです。
I am/was glad to see my daughter happy.では、動詞はamかwasだけなので文の後半は変化しません。
It's good that my daughter looks happy.も英語として問題はありませんが、「私は嬉しい」というよりは、「娘が幸せなのは良いことだ」という意味になります。
直接娘さんと話している時に言うとしたら、
I'm glad if you are happy now.
（あなたが今幸せなら、私はうれしいよ。）
という表現もありですね。
gladをhappyとしても、もちろんかまいません。
参考になれば幸いです。
こんにちは！
ご質問ありがとうございます。
先のアンカーさんが回答されておりますので、ここでは他の例を挙げてみます。
It made me so happy to see her looking so happy.
とすると、「娘が[幸せそう](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/2845/)で嬉しかった。」となります。
It makes me happy to see her so happy.
とすると、「娘が幸せそうで嬉しい。」となります。
役に立ちそうな単語とフレーズ
make someone happy 人を幸せな気持ちにさせる
参考になれば幸いです。
日本 
