どちらも「彼は自分のことをあまり話しません。」という言い方です。
1) He doesn't talk much about himself.
2) He doesn't say much about himself.
「〜についてあまり話さない」は
doesn't talk much about
doesn't say much about
と言えます。
「自分のこと」＝「彼自身のこと」なので himself となります。
ご参考になれば幸いです！
こんにちは！
ご質問ありがとうございます。
ご質問について、いくつか言い方が考えられますが、例えば、
He doesn’t really talk about himself.
とすると、「彼はあまり自分のことを[話さない](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/72224/)人です。」となります。
「話さない人」という性格的な特徴を表す場合には、He's a private person や He's not very open という表現も自然です。
役に立ちそうな単語とフレーズ
private person 自分のことをあまり話さない人
reserved 控えめな、控えた態度の
open オープンな
参考になれば幸いです。
日本 
