"make it up (to 人)" は「(人に)埋め合わせをする」という表現です。他に「仲直りする」という意味もあり、"make it up with 人" で「人と仲直り/和解する」ということを表します。
別の表現で、"make up for 〜"「(不足・損失などの)埋め合わせをする」を使うこともできます。
"next time" は「次回、今度」ということを表します。
埋め合わせをする は make it up です。
❶I will make it up to you!
(今度埋め合わせするから！)
❷Let me make it up to you!
(埋め合わせさせて、お願い！)
❸I want to make it up to you!
(埋め合わせをしたいの！お願い)
と言えます。参考までに！
「埋め合わせ」は「損失などを他のもので補う」という意味なので、このシチュエーションなら次のように言えます。
ーWe'll do something extra special next time.
「次回何か特別なことをしよう」＝特別なことして埋め合わせするよ、というニュアンスです。
ーI owe you next time.
「私は次回あなたに返すべき義務を負っている」＝「次回埋め合わせするね」とも言えます。
ご参考まで！
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