I will do my best with my work so that people can see my actual working abilities, and not just my looks.
ご質問ありがとうございます。
"I will do my best with my work"＝「私は仕事を頑張ります」
（又は、"I will work hard"でもOKです）
"so that people can see my actual working abilities,"＝「人々が私の実際の仕事の能力を見ることが出来るように」
"and not just my looks."＝「私の外見だけではなく。」
ご参考になると幸いです。
I want to prove that I'm really fit for the job and that my looks are not everything.
ご質問ありがとうございます。
What would you do if you got a job promotion only because of your looks?」という質問に対して、「外見以外にも仕事の実力があるという事を見せれるように仕事を頑張る」と言いたいなら、英語で「I want to prove that I'm really fit for the job and that my looks are not everything.」という風に言えます。
ご参考になれば幸いです。
アメリカ合衆国 
