「老ける」は「外見から見て歳をとる」というニュアンスですので、英語ではageと言います。ageは単純に「歳をとる」という意味がありますが、外見が老けて見えてくるときにも使えます。
例文
I don't want to age.
歳をとりたくない or 老けたくない。
なお、「外見」と強調したいときI don't want to look oldとも言えます。直訳すると「老けて見えるのが嫌」となります。
例文
I don't want to look old, so I always use moisturizer to prevent wrinkles.
老けて見えるのが嫌だから、保湿クリームでシワ対策をしている。
ご質問ありがとうございます。
・I don't want to look old so I put sunscreen on.
＝「老けるのが嫌なので、日焼け止めをつけます。」
（例文）Why do you put sunscreen on everyday?//I don't want to look old so I put sunscreen on.
（訳）なぜ毎日日焼け止めを塗るのですか？//老けるのが嫌なので、日焼け止めをつけます。
・I don't want wrinkles so I put sunscreen on.
＝「シワが嫌なので、日焼け止めをつけます。」
お役に立てれば嬉しいです。
Coco
"I don't like aging, so I make sure to avoid sun exposure and keep my skin moisturized."
・I don't like aging
「老けるのが嫌だ」
・so I make sure to avoid sun exposure
「だから日焼けをしないように気をつけている」
・and keep my skin moisturized
「そして保湿をしっかりしている」
関連する言い方としては：
"I dislike getting older, so I always protect my skin from the sun and use plenty of moisturizer."
「年を取るのが嫌なので、いつも日焼け対策をして、たっぷりの保湿をしています。」
アメリカ合衆国 
日本 
