My dad was asked questions in English in rapid succession when he was checking in.
My dad was asked a lot of questions in English very quickly when he was checking in.
My dad was asked a lot of questions in English very quickly
父親は英語で矢継ぎ早に質問をされていた
「矢継ぎ早に」は直訳的にin rapid successionという表現になりますので、My dad was asked questions in English in rapid successionもOKですね。話すときならちょっと上級みたいな感じですので、場合によってasked a lot of questions very quicklyの方が自然だと思います。
When he was checking in
（父親が）搭乗手続きの際に
ご参考になれば幸いです！
My dad was asked questions in English all at once when he was checking in.
こんにちは！
ご質問ありがとうございます。
先のアンカーさんが丁寧に回答されていますので、ここでは他の例を挙げてみますね！
『父親は搭乗手続きの際に英語で矢継ぎ早に質問をされていた』は、
My dad was asked questions in English all at once when he was checking in.
と表現してもよいでしょう。
ここでは、all at once は、『いっぺんに・まとめて』という意味で使って、『矢継ぎ早に（
短い間隔で次々とすばやく行為・動作を続ける様子。 ）』を表現しています。
参考になれば幸いです。
My father was being asked rapid-fire questions in English during the check-in process.
このフレーズは「搭乗手続きの際に英語で矢継ぎ早に質問をされていた」を自然に表現します。
My father は「父親」を指します。
was being asked は「質問をされていた」という進行中の受動態を表します。
rapid-fire questions は「矢継ぎ早に質問」を意味します。rapid-fire は「素早く、休まずに」というニュアンスです。
in English は「英語で」という意味です。
during the check-in process は「搭乗手続きの際に」を意味し、具体的な状況を説明します。
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