My brother wouldn't show me his LINE conversation with his girlfriend.
My brother wouldn't show me his LINE chat with his girlfriend.
「メッセージのやりとり」は文面上の「会話」を表すので、英語ではconversationと呼びます。また、LINEはチャットアプリなので、この場合はchatも使えます。よって、「LINEのやりとり」はLINE conversationあるいはLINE chatと呼びます。ということで、「兄は彼女とのLINEのやりとりを見せてくれなかった」は上記のように英訳できます。
他の例文
I like to read my previous LINE conversations with my friend when I'm feeling down.
落ち込んでる時は友達との過去のLINEのやりとりを読むのが好きです。
Why should I show you my LINE chat with him?
なんで彼とのLINEのやりとりを見せなきゃいけないの？
He didn't show me his LINE conversation with his girlfriend.
He didn't show me his LINE chat with his girlfriend.
ご質問ありがとうございます。
「（私に）見せる」というのは show (me) を使って表現することができるので、
He didn't show me his LINE conversation with his girlfriend.
「彼は、彼女とのLINEのやりとりを私に見せなかった」
と表現することができます。
また、LINE conversation 以外にも chat という単語を使えるので
He didn't show me his LINE chat with his girlfriend.
「彼は、彼女とのLINEのやりとりを私に見せなかった」
と言ってもいいですね。
ご参考になれば幸いです。
My brother didn't show me his LINE messages with his girlfriend.
「兄は彼女とのLINEのやりとりを見せてくれなかった」は英語で
"My brother didn't show me his LINE messages with his girlfriend."
と表現できます。
・brother「兄、弟」
性別に関係なく兄か弟かを表す言葉です。
・show「見せる」
誰かに何かを見せる意味があります。show + 人 + 物 の順で使われます。
・messages「メッセージ」
ここではLINEでのやりとりを指しています。
・with his girlfriend「彼の彼女との」
「誰かとのやりとり」を示したい場合に便利な表現です。
アメリカ合衆国 
日本 
