My dog is having some stomach problems, so I need the vet to examine him/her.
ご質問ありがとうございます。
Joさんの文章で問題ありません。
ちなみに、獣医はveterinarianですが、書かれていた短縮形のvetでも良いので、"."(period)は必要ありません。
"...have him checked by a vet.?"→ "...have him checked by a vet?"
一応、他の言い方も書いておきました。
"examine"が「診察する」に当たります。
ご参考に。
My dog has an upset stomach, so I need to have him checked by a vet.
「My dog has an upset stomach, so I need to have him checked by a vet.」は、「うちの犬はお腹の調子が悪いので、獣医に診てもらわないと」という意味です。"upset stomach" は「お腹を壊している」状態を指す一般的な表現で、"vet" は「獣医」の略です。
類似表現として
・My dog isn't feeling well, so I should take him to the vet.
『うちの犬は具合が悪いので、獣医に連れて行くべきです。』
アメリカ合衆国 
