Recently, when I've been watching dramas, the VPN suddenly cuts out.
Recently, when I've been watching dramas, the VPN suddenly gets cut off.
ご質問ありがとうございます。
get cut offを受身形で使うのが自然ですね。そんな言い方で主語が「私」です。でも、cut offよりcuts outの方が自然な言い方だと思います。他の言い方はstops workingです。
例:Recently, when I've been watching dramas, the VPN suddenly stops working.
ご参考になれば幸いです。
My VPN connection suddenly drops while watching a show.
「最近ドラマを見ているとVPNが突然切れる」という表現は、英語で "My VPN connection suddenly drops while watching a show." と言います。"VPN connection" は「VPN接続」を指し、"suddenly drops" は「突然切れる」という状態を表現しています。
質問補足にあるように「VPNを使ってNetlixを使っていると、VPNを使っていることがNetlixにばれて、突然切れてしまいます」という場合、英語で "When I'm using a VPN to watch Netflix, it often gets detected and the connection cuts off suddenly." と表現できます。