ご質問ありがとうございます。
「植物」の代表的な名はplantと言います。ほとんどの場合、複数形に使っています。「育成」はnurturingとかcultivating, raising, caring forなどに訳せます。植物や農業と関係があるのはcultivatingとraisingとgrowingですが何でもいいです。
例文:I bought seeds and a worker is cultivating them for me.(自分が買った種を、業者に種を代わりにまいてもらって苗になるまで代わりに育ててもらいます。)
ご参考になれば幸いです。
「植物の育成管理を委託する」は、英語で "Entrust the plant cultivation management" と表現できます。"entrust" は「委託する」「任せる」という意味があります。"plant cultivation management" は「植物の育成管理」を指しています。
例えば "I entrusted the sowing and nurturing of my seeds to a professional service until they became seedlings." というように具体的に伝えることもできます。