It looks like our stock will run out! Please send more as you get it.
ご質問ありがとうございます。
「在庫」はstockと言います。そして、「〜しそう」はit seems likeとit looks likeに訳せます。
「送ってください」はplease send itですが、「どんどん」と一緒に使うとplease send moreとかplease send more as you get itとかplease send as much as you canなどに訳せます。
ご参考になれば幸いです。
We're running low on stock! Please keep shipping them as quickly as possible.
「在庫がなくなりそう!どんどん送ってください」というフィーリングは "We're running low on stock! Please keep shipping them as quickly as possible." で伝えることができます。
"running low on stock" は「在庫が少なくなってきている状態」を意味します。また、"keep shipping them" は「それらをどんどん送ってほしい」という意味で、緊急性を的確に伝える表現です。