ご質問ありがとうございます。
Neo様が説明した行為はpettyとかstingyとかcriticalなどと言えると思いますので、「贅沢言わない」はdon't be petty/stingy/criticalと言えます。でも、そういう時に上記の表現をよく使っていますので、提案したいと思います。無料でもらった物事の時にはdon't look a gift horse in the mouthを使えます。助けられたときにbeggars can't be choosersを使えます（雨の日に人から傘をもらったがその傘に小さい穴が開いているみたいな場面）。
ご参考になれば幸いです。
無料や割安で何かを提供されている状況で、さらに要求をすることや不平を言うことを避けたい場合、「I can't complain.」や「I shouldn't be picky.」が適した表現になります。「complain」は文句を言うことを意味し、「picky」は好みがうるさい、選び好むという意味です。
役に立ちそうな単語とフレーズ:
- to be grateful: 感謝している
- to be choosy: 選り好みする
- to be demanding: 要求が多い
「贅沢言わない」は英語では "Don't be picky" や "Don't be a complainer" というフレーズが使われます。
"Don't be picky" は細かいことにこだわらず「こだわりすぎないで」という意味になります。
"Don't be a complainer" は不満ばかり言う人に対して「文句を言わないで」と伝えるフレーズです。
アメリカ合衆国 
