I've been busy with pregnancy, raising my child, and moving.
ご質問ありがとうございます。
「〜で忙しい」はbusy with 〜になります。busy withの後に名詞や動名詞を使います。上記の英文に両方が現れていますね。
「育児」をraising my childに訳していますが、childrearingとparentingにも訳せます。parentingはカジュアルな会話で特にいいと思います。
例文：I'm sorry I haven't written in a while. I've been very busy with pregnancy, parenting, and moving.
ご参考いただければ幸いです。
I have been very busy with childbirth, taking care of my baby, and moving.
"I have been very busy with childbirth, taking care of my baby, and moving." で伝えることができます。"I have been very busy" は「とても忙しかったです」という意味です。"childbirth" は「出産」を指し、"taking care of my baby" は「育児」、"moving" は「引っ越し」を意味します。手紙で友達に伝えるときには、こんな表現が役立ちます。
たとえば、手紙の中でこう言うことができます：
I'm sorry I haven't contacted you for almost a year. I've been swamped with giving birth, parenting, and relocating.
「ほぼ一年間連絡できなくてごめんなさい。出産や育児、引っ越しで手一杯でした。」
アメリカ合衆国 
