I'm going to put away the laundry I folded in a dresser.
この場合、次のように言えます。
ーI'm going to put away the laundry I folded in a dresser.
「畳んだ洗濯物をタンスにしまうつもりです」
to put away で「しまう・片付ける」
laundry で「洗濯物」
to fold で「たたむ」
dresser で「タンス」
ご参考まで！
Put the folded laundry away in the dresser.
と言います。
put away は「しまう」「収納する」という意味です。
folded laundry は「畳んだ洗濯物」を指します。folded によって「畳まれた」という状態を表します。
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