最初の言い方は、I have to trust that they will read my letter that I am writing right now. は、読んでくれると信じて今書くしかないと言う意味として使われていました。
最初の言い方では、to trust は、信じてと言う意味として使われています。read my letter は、読んでくれるとと言う意味として使われていました。
二つ目の言い方は、I have to believe that they will read my letter that I am writing right now. は、読んでくれると信じて書くしかないと言う意味として使われています。
二つ目の言い方では、to believe は、信じてと言う意味として使われていました。
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I can only write this believing that you will read it.
"I can only write this"は「これを書くしかない」というニュアンスを持ち、"believing that you will read it"は「あなたが読んでくれると信じて」という意味です。
例文として：
As I write this letter, I can only write it believing that you will read it.
「この手紙を書きながら、君が読んでくれると信じて書くしかない。」
アメリカ合衆国 
