Baseball is my son and I's shared language is baseball
辞書で調べるとlingua francaが出てきますね。
でもその言葉を使う表現は、「英語は世界の共通言語です・English is the lingua franca of the world」みたいな表現しかあまりないですね。
この場合ではshared languageは一番合っている直訳だと思いますが、
Baseball is what connects my son and me （共通言語の代わりに、繋がりになっていますね）
My grandfather is deaf, but haiku is what connects him and me.
おじいちゃんは耳が聞こえないけど、私たちの共通言語は俳句だ
の方が自然な表現だと思います。
ご参考になれば幸いです！
Baseball is the common ground between me and my six-year-old son.
「共通言語」は、直訳ではなく「共通の理解や価値観」として表現されることが多いです。英語では「common ground」というフレーズで、「共通の理解」や「共有の価値観」を意味します。
今回の例である「私と6歳の息子の共通言語は野球だ」は、英語で「Baseball is the common ground between me and my six-year-old son.」となります。
アメリカ合衆国 
