ご質問ありがとうございます。
この場合、「聞かせて」つまり「私のために歌って」と言い直して英語で表現することが出来ます。
Sing for me!
Sing (a song) for me!
また、「聞きたい」ということで
I want to listen!
と言ってもいいですね。
ご参考になれば幸いです。
Let me hear it!
「（歌）聞かせて」という場面では、"Let me hear it!" を使って表現できます。
"Let me" は「〜させて」というお願いや提案をする際に使います。
"hear it" は「それを聞く」。
このフレーズを使うと、シンプルに「聞かせて」という意味になります。
日本 
アメリカ合衆国 
