ご質問ありがとうございます。
「支持」と「応援」はsupportと言えます。「応援」の方はroot forにも訳せます。
例：I'm going to root for this activity from now on.
二つ目の回答のbackはsupportと同じ意味です。
普通に「活動」はactivityに訳していますが、この場合にはinitiativeも使えると思います。他の役に立つ単語はeffortsです。
例：I'm going to support the efforts to clean the ocean from now on.
ご参考いただければ幸いです。
こんにちは！
ご質問ありがとうございます。
先のアンカーさんが丁寧に回答されていますので、
ここでは他の言い方を挙げておきます。
『私はこれからもこの活動を支持します/応援します』は、
いくつか言い方が考えられますが、
I will continue my support of the activity. とも言えます。
また、
I will continue to support activities related to the organization. とすると
『私はこの団体に関連する活動を支援し続けます。』とも言えますね！
メモ
continue to ～し続ける
海をきれいにする団体、それを応援する人、素敵です。
参考になれば幸いです。
**I’ll keep supporting your work.**
「あなたたちの活動をこれからも応援します」
“keep ～ing” は「〜し続ける」という意味なので、「支援し続ける」気持ちが自然に伝わります。
2. **I’ll continue to support this cause.**
「この活動（運動）をこれからも支持し続けます」
“this cause” は「この運動・目的・社会的な取り組み」のような意味で、環境保護やボランティアなど社会的活動に使われる表現です。
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