As I keep listening to it, I have become able to pick up specific sounds.
こんにちは！
ご質問ありがとうございます。
『聞き続けていると特有の音が聞き取れるようになってきた』は、
いくつか言い方が考えられますが、
As I keep listening to it, I have become able to pick up specific sounds. と言えます。
また、
I get used to the language as I keep listening to it. とすると
『それを聞き続けるにつれてその言葉に慣れる。』と表現することもできます。
メモ
have become able to xxx XXXできるようになってきた
参考になれば幸いです。
After listening for a while, I started to catch certain sounds.
**After listening for a while, I started to catch certain sounds.**
**The more I listened, the more I could pick up the unique rhythm.**
**I've started to recognize some of the sounds just by hearing them.**
「聞き続けていると特有の音が聞き取れるようになってきた」という感覚を表すには、「catch」「pick up」「recognize」などの動詞が自然です。どれも「聞いてわかるようになった」「耳が慣れてきた」というニュアンスを持っています。
特に語学に関する話題では、「pick up」は非常によく使われます。もともと「拾う」「身につける」という意味があり、「自然に覚える・慣れる」という語感があります。
日本 
アメリカ合衆国 
