They are constantly asking me to buy them expensive things.
「あれ買ってこれ買って」というのはつまり、相手がしつこくなんどもなんどもおねだりしてくるというニュアンスですね。英語ではこのニュアンスをkeep〜あるいはis/are constantly〜と表現します。
He keeps talking to me when I'm trying to concentrate.
He is constantly talking to me when I'm trying to concentrate.
集中しようとしているのに彼はしつこう話しかけてくる。
基本どちらを使っても同じ意味ですが、is/are constantly〜の方が「しつこさ」を強調しています。
よって、「あれ買ってこれ買ってと高価な物ばかりねだる」は下記の通りに英訳できます。
・They keep asking me to buy them expensive things.
・They are constantly asking me to buy them expensive things.
ちなみにThey/themのところに、他にもhe/himやshe/herの代名詞が入ります。
She's always pestering me to buy her lots of different luxury items.
She's always trying to coax me into buying her expensive things.
この場合、次のような言い方ができますよ。
ーShe's always pestering me to buy her lots of different luxury items.
「彼女はいつも高級なものを買ってとねだる」
to pester someone to ... で「人に…するよううるさくせがむ」
ーShe's always trying to coax me into buying her expensive things.
「彼女はいつもわたしに高価なものを買ってとねだってくる」
to coax someone into ...ing で「人をなだめすかして…させる」
ご参考まで！
アメリカ合衆国 
カナダ 
